0

LENSA DAN CERMIN

Posted by Rafiandi GK on 2:45 AM

LENSA DAN CERMIN

Pemantulan Dan Pembiasan Pada Cermin(cekung,cembung) dan Lensa(cekung,cembung)



Pemantulan

Refleksi (atau pemantulan) adalah perubahan arah rambat cahaya ke arah sisi (medium) asalnya, setelah menumbuk antarmuka dua medium.

Refleksi pada era optik geometris dijabarkan dengan hukum refleksi yaitu:

* Sinar insiden, sinar refleksi dan sumbu normal antarmuka ada pada satu bidang yang sama
* Sudut yang dibentuk antara masing-masing sinar insiden dan sinar refleksi terhadap sumbu normal adalah sama besar.
* Jarak tempuh sinar insiden dan sinar refleksi bersifat reversible.


Refleksi spekular

Refleksi spekular (en:specular reflection) dikenal pada era optik fisis sebagai refleksi yang terjadi pada antarmuka yang mengkilap yang merupakan sebab akibat dari hukum refleksi. Refleksi spekular mempunyai beberapa model antara lain model refleksi Phong dan Cook-Torance.

Refleksi difusi


http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

Diagram refleksi difusi

Refleksi difusi (en:diffused reflection) adalah perubahan arah rambat gelombang cahaya yang terjadi setelah menumbuk antarmuka granular yang tidak rata dengan hamburan cahaya kembali ke arah sisi (medium) asalnya dengan banyak sudut pantul. Refleksi difusi adalah fungsi komplemen dari refleksi spekular, diperkenalkan pertama kali oleh Johann Heinrich Lambert melalui Photometria pada tahun 1760. Hasil studi pengamatan Lambert pada intensitas cahaya refleksi terhadap antarmuka yang kusam (en:matte), kemudian disebut hukum kosinus Lambert dengan reflektansi Lambert dan antarmuka Lambert.

Contoh perbedaan antara refleksi difusi dengan refleksi spekular dapat ditemui pada warna cat yang kusam dan mengkilap. Cat kusam menampakkan sifat refleksi difusi, sedangkan cat kilap menonjolkan sifat refleksi spekular. Banyak obyek kasat mata dapat terlihat karena sifat refleksi difusi ini. Hamburan cahaya dari permukaan obyek tersebut yang menjadi mekanisme utama pengamatan fisis manusia[1][2] dan fotometri.

Sifat reflektansi antarmuka yang isotropik menyebabkan refleksi difusi cenderung untuk menampakkan antarmuka dengan tingkat luminasi yang sama dilihat dari sudut pengamatan manapun. Sebagai contoh, sebuah papan kayu yang kasar dengan gamblang menggambarkan reflektansi isotropik dari antarmuka Lambert, namun apabila telah disepuh mengkilap dengan polyurethane, reflektansi tersebut sirna bersamaan dengan timbulnya specular highlight pada beberapa bagian antarmuka. Specular highlight juga dapat terlihat pada antarmuka Lambert yang tidak sempurna, yaitu pada sudut hukum refleksi yang dibentuk oleh sinar cahaya pada intensitas maksimumnya.



Prinsip kerja reflektor retro

Refleksi difusi berantai pada beberapa antarmuka Lambert disebut inter-refleksi difusi (en:diffuse interreflection). Sinar inter-refleksi difusi bersifat elastis dan mewarnai antarmuka Lambert obyek sekitarnya dengan warna antarmuka Lambert sebelumnya. Fenomena ini pada studi fotografi disebut ambient light, dapat diamati dengan jelas pada ruang tidak mendapatkan sinar matahari langsung. Sinar refleksi spekular berantai tidak menunjukkan gejala yang sama. Sebagai contoh, pada reflektor retro (en:retroreflector) retina mata kucing, saat petang akan terlihat berbinar jika diamati dari sudut tertentu, dan terlihat gelap saat diamati dari sudut yang lain. Sinar insiden yang menumbuk antarmuka retina mata kucing mengalami refleksi spekular berantai hingga tidak terjadi difusi cahaya di dalam rongga mata kucing. Oleh karena itu, kita tidak dapat melihat ambient light dalam rongga mata tersebut.

Fungsi distribusi reflektansi bidireksional


http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

Three bi-directional diffuse reflection (BRDF) models

Berkas:BSDF05 800.png

BSDF: BRDF + BTDF

http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

BRDF vs. BSSRDF

Fungsi distribusi reflektansi bidireksional (en:Bidirectional reflectance distribution function atau BRDF) diperkenalkan oleh Edward Nicodemus sekitar tahun 1965.[3] Definisi modern BRDF adalah:

dimana L adalah radian, E adalah iradian, dan θi adalah sudut antara ωi dan normal permukaan, n.

Fungsi merupakan penyempurnaan model reflektansi Lambert dengan tiga model difusi, yaitu model difusi Lambert, Minnaert dan Oren-Nayar. Masih terdapat model difusi yang tidak termaktub di dalam fungsi, antara lain: atomic diffusion, molecular diffusion, tracer diffusion, chemical diffusion, collective diffusion, Eddy diffusion, electronic diffusion, facilitated diffusion, gaseous diffusion, Ito diffusion, Knudsen diffusion, momentum diffusion, osmosis, photon diffusion, reverse diffusion, rotational diffusion, surface diffusion, ambipolar diffusion, anomalous diffusion, diffusion MRI. Surface roughness scattering atau interface roughness scattering adalah model difusi Lambert pada partikel bermuatan. Efek ini sangat penting dalam teknologi peralatan elektronika yang mengandung lapisan tipis seperti field effect transistor dan quantum cascade laser.[4]

Pada tahun 1991, Paul Heckbert[1] menggabungkan fungsi distribusi reflektansi bidireksional dengan:

* fungsi distribusi transmitansi bidireksional (en:bidirectional transmittance distribution function), dan
* fungsi distribusi permukaan hamburan bidireksional (en:bidirectional scattering surface distribution function)[2] atau (en:subsurface scattering)

menjadi fungsi distribusi hamburan bidirektional (en:bidirectional scattering distribution function), karena hamburan (en:scattering) cahaya terjadi tidak hanya pada refleksi tetapi juga pada refraksi antarmuka medium apapun.

Pada umumnya hamburan (en:scattering) cahaya meliputi studi hamburan elastis dan hamburan non elastis dari sifat dualisme cahaya sebagai partikel dan gelombang. Beberapa jenis hamburan yang sering dijumpai antara lain hamburan Rutherford, hamburan Bragg atau difraksi, hamburan Rayleigh, hamburan Compton, hamburan Brillouin, hamburan Lorentz-Mie, hamburan Raman.

Pembiasan







Refraksi (pembiasan) gelombang-gelombang cahaya di air. Persegi gelap menunjukkan posisi sebenarnya sebatang pensil yang diletakkan dalam semangkuk air. Persegi terang menunjukkan posisi tampak dari pensil itu. Perhatikan bahwa ujungnya (X) seakan-akan terlihat di Y, posisi yang jelas lebih dangkal.

Refraksi (atau pembiasan) dalam optika geometris didefinisikan sebagai perubahan arah rambat partikel cahaya akibat terjadinya percepatan.

Pada optika era optik geometris, refraksi cahaya yang dijabarkan dengan Hukum Snellius, terjadi bersamaan dengan refleksi gelombang cahaya tersebut, seperti yang dijelaskan oleh persamaan Fresnel pada masa transisi menuju era optik fisis. Tumbukan antara gelombang cahaya dengan antarmuka dua medium menyebabkan kecepatan fasa gelombang cahaya berubah. Panjang gelombang akan bertambah atau berkurang dengan frekuensi yang sama, karena sifat gelombang cahaya yang transversal (bukan longitudinal). Pengetahuan ini yang membawa kepada penemuan lensa dan refracting telescope. Refraksi di era optik fisis dijabarkan sebagai fenomena perubahan arah rambat gelombang yang tidak saja tergantung pada perubahan kecepatan, tetapi juga terjadi karena faktor-faktor lain yang disebut difraksi dan dispersi.

http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

Sedotan Terlihat Patah, Karena ada Cahaya Yang muncul Ke Udara

Contoh terjadinya refraksi yang sangat umum dijumpai adalah seperti ilustrasi gambar di samping. Dengan adanya perbedaan indeks bias antara udara (1,0003) dan air (1,33) di dalam sebuah mangkok, sebuah benda lurus seperti pensil atau sedotan akan tampak seperti patah dengan kedalaman air yang tampak lebih dangkal.

Refraksi ganda

http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

A calcite crystal laid upon a paper with some letters showing the double refraction

Refraksi ganda atau birefringence atau double refraction adalah dekomposisi sinar cahaya menjadi dua sinar cahaya yang disebut ordinary ray dan extraordinary ray.

Refraksi ganda terjadi pada saat gelombang cahaya melalui medium material anisotropik seperti kristal kalsit atau Boron nitrat. Jika material tersebut mempunyai sumbu optis atau sumbu anisotropik tunggal, maka pembiasan yang terjadi disebut uniaxial birefringence dengan 2 buah indeks bias material anisotropik, masing-masing untuk 2 buah arah polarisasi dengan intensitas menurut persamaan:

\Delta n=n_e-n_o\,

di mana no dan ne adalah indeks bias untuk polarisasi tegak lurus ordinary ray dan polarisasi paralel extraordinary ray terhadap sumbu anisotropik.[1]

Biaxial materials, at 590 nm

Material ↓


na ↓


nß ↓


n? ↓

borax


1.447


1.469


1.472

epsom salt MgSO4·7(H2O)


1.433


1.455


1.461

mica, biotite


1.595


1.640


1.640

mica, muscovite


1.563


1.596


1.601

olivine (Mg, Fe)2SiO4


1.640


1.660


1.680

perovskite CaTiO3


2.300


2.340


2.380

topaz


1.618


1.620


1.627

ulexite


1.490


1.510


1.520

Refraksi ganda juga dapat terjadi dengan sumbu anisotropik ganda yang disebut biaxial birefringence atau trirefringence, seperti yang terjadi pada pembiasan sinar cahaya pada material anisotropik layaknya kristal atau berlian. Untuk material semacam ini, tensor indeks bias n, secara umum memiliki tiga eigenvalues yang berbeda, yaitu na, nß and n?.

Refraksi gradien


http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

A gradient-index lens with a parabolic variation of refractive index (n) with radial distance (x). The lens focuses light in the same way as a conventional lens.

Berkas:Density-nd.GIF

Relation between the refractive index and the density of silicate and borosilicate glasses.[2]

Refraksi gradien adalah refraksi yang terjadi pada medium dengan indeks bias gradien.

Pada umumnya, indeks bias gradien terjadi karena peningkatan kepadatan medium yang menyebabkan peningkatan indeks bias secara tidak linear, seperti pada kaca, sehingga cahaya yang merambat melaluinya dapat mempunyai jarak tempuh yang melingkar dan terfokus.

Indeks bias gradien juga terjadi apabila cahaya yang merambat melalui medium dengan indeks bias konstan, mempunyai intensitas yang sangat tinggi akibat kuatnya medan listrik, seperti pada sinar laser, sehingga menyebabkan indeks bias medium bervariasi sepanjang jarak tempuh sinar tersebut. Jika indeks bias berbanding kuadrat dengan medan listrik/berbanding linear dengan intensitas, akan terjadi fenomena self-focusing dan self-phase modulation yang disebut efek optis Kerr. Fenomena refraksi gradien dengan indeks bias berbanding linear dengan medan listrik (yang terjadi pada medium yang tidak mempunyai inversion symmetry) disebut efek Pockels.

Hal ini dipelajari pada studi optika non linear.

Refraksi negatif


http://bits.wikimedia.org/skins-1.5/common/images/magnify-clip.png

A comparison of refraction in a left-handed metamaterial to that in a normal material

Refraksi negatif adalah refraksi yang terjadi seolah-olah sinar cahaya insiden dipantulkan oleh sumbu normal antarmuka dua medium pada sudut refraksi yang secara umum tunduk pada hukum Snellius, namun bernilai negatif.

Refraksi negatif terjadi pada pembiasan antarmuka antara medium yang mempunyai indeks bias positif dengan medium material meta yang mempunyai indeks bias negatif oleh desain koefisien permitivitas medan listrik dan permeabilitas medan magnet tertentu menurut persamaan:


Untuk kebanyakan material, besaran permeabilitas μ sangat dekat dengan nilai 1 pada frekuensi optis, sehingga nilai n disederhanakan dengan pendekatan permitivitas: \sqrt{\epsilon}. Menurut persamaan ini, maka indeks bias dapat bernilai negatif, misalnya seperti pada sinar x.[3]

Paradox momentum

Pada tahun 1908, Hermann Minkowski membuat persamaan momentum refraksi:[4]

p=\frac{nE}{c}

di mana:

* p adalah momentum refraksi
* E adalah energi foton
* c adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa
* n adalah indeks bias medium

Pada tahun 1909, Max Abraham membuat usulan persamaan momentum sebagai berikut:[5]


Pembentukan Bayangan Oleh Cermin Cembung

Sama dengan cermin cemkung, cermin cembung jg mempunuai tiga sinar istimewa. Karena jarak fokus dan pusat kelengkungan cermin cembung berada di belakang cermin maka ketiga sinar istimewa pada cermin cembung tersebut adalah :

1.


Sinar yang datang menuju pusat kelengkungan akan dipantulkan kembali


2.


Sinar yang datang sejajar sumbu utama akan dipantulkan seolah-olah dari fokus

3.


Sinar yang datang menuju fokus akan di pantulkan sejajar sumbu utama


Untuk dapat melukis banyangan pada cermin cembung di perlukan minimal dua sinar istimewa, sama caranya pada cermin cekung. Coba perhatikan contoh lukisan di bawah ini.


Benda AB di depan cermin cekung, lukisan bayangannya menggunakan dua sinar istimewa (1) sinar datang sejajar sumbu utama di pantulkan seolah-olah dari fokus (2) sinar datang menuju pusat kelengkungan di pantulkan kembali sehingga di peroleh bayangan A'B'.

Sifat bayangan dari benda di depan cermin cembung selalu :
Maya, Tegak, Diperkecil

Persamaan pada cermin cembung sama dengan cermin cekung, hanya pada cermin cekung F dan R bertanda positif dan F dan R pada cermin cembung bertanda negatif

Apakah persamaan-persamaan yang ada pada cermin cekung berlaku untuk cermin cembung? Jawabnya, ya! Persamaan-persamaan tersebut tetap berlaku. Hanya saja untuk cermin cembung, jarak fokus dan jari-jari kelengkungan pada persamaan bertanda negatif. Untuk jelasnya perhatikan contoh 3 di bawah ini.

Contoh:

3.


Sebuah benda yang tingginya 12 cm diletakkan 10 cm di depan cermin cembung yang jari-jari kelengkungannya 30 cm. Tentukan (a) jarak bayangan (b) tinggi bayangan (c) sifat-sifat bayangan

Penyelesaian:

Diketahui:
h = 12 cm
s = 10 cm
R = -30 cm ® f = -15 cm
Ditanya:
a. s'
b. h'
c. sifat-sifat bayangan

Jawab:

a.


Jarak bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan

Jadi, jarak bayangan 6 cm. Tanda negatif berarti bayangan ada di belakang cermin dan merupakan bayangan maya.


b.



Tinggi bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan




c.


Jadi, tinggi bayangan = 7,2 cm berarti ukuran bayangan lebih kecil dibanding ukuran bendanya

Berdasarkan jawaban a dan b sifat-sifat bayangan adalah maya, tegak dan diperkecil

Contoh:

4.


Di manakah sebuah benda diletakkan di depan sebuah cermin cekung yang jari-jari kelengkungannya 60 cm, agar bayangan yang dibentuk cermin itu bersifat nyata dan berukuran 3 kali ukuran bendanya?

Penyelesaian:
Diketahui:
M = 3 x ® s' = 3 s
R = 60 cm ® f = 30 cm
Ditanya: s?


Jawab:
Gunakan persamaan umum cermin cekung:


lalu masukkan data soal yang telah diketahui, kita dapatkan


atau


Jadi, agar diperoleh bayangan 3 kali lebih besar dari bendanya, maka benda harus diletakkan pada jarak 40 cm di depan cermin. Anda dapat memeriksa logis tidaknya jawaban ini dengan menggunakan Dalil Esbach, bagaimana?

Contoh:

5.


Dua cermin cekung A dan B yang masing-masing berjari-jari 40 cm disusun saling berhadapan dengan sumbu utama dan pusat kelengkungannya berhimpit. Sebuah benda diletakkan 25 cm di depan cermin A. Tentukan (a) jarak bayangan benda yang dibentuk oleh cermin A (b) jarak bayangan benda yang dibentuk oleh cermin B (c) perbesaran bayangan total!

Penyelesaian:

Diketahui:
RA = 40 cm = RA = 40 cm
Jarak antara dua cermin cekung d = RA + RB = 80 cm
s A = 25 cm

Ditanya:
a. s'A ?
b. s'B ?
c. MT ?

Jawab:
Perhatikan gambar di bawah!


a. Jarak bayangan yang dibentuk oleh cermin A s'A


Berarti benda di ruang 2 cermin A dan bayangannya pasti di ruang 3 atau sebelah kanan CA . Untuk tepatnya kita hitung saja.


s'A = 100 cm

Jadi, jarak bayangan yang dibentuk oleh cermin cekung A adalah 100 cm di depan cermin A dengan sifat bayangan nyata, terbalik diperbesar (ingat Dalil Esbach dI atas!). Jarak bayangan ini lebih besar dari jarak antara kedua cermin cekung itu yang hanya 80 cm. Dengan kata lain bayangan benda berada 20 cm di belakang cermin B.
Selanjutnya bayangan yang dibentuk oleh cermin cekung A ini menjadi benda maya bagi cermin cekung B dengan kata lain terdapat benda maya di ruang 4 cermin cekung B yakni pada jarak 20 cm di belakang cermin tersebut.

b. Jarak bayangan yang dibentuk oleh cermin B

Berdasarkan jawaban a diketahui data untuk cermin cekung B, yakni


Tanda minus pada s B karena benda merupakan benda maya (di belakang cermin cekung). Jarak bayangan benda maya ini dapat ditentukan, yakni


didapat s'B = 10 cm.
Artinya, cermin cekung B membentuk bayangan nyata dari benda maya (sB ) pada jarak
s' B = 10 cm (s'B tidak bertanda negatif berarti positif) di depan cermin tersebut. Bagaimana dapat Anda pahami? Bagus bila demikian halnya. Mari kita lanjutkan!

c. Perbesaran bayangan total

Perbesaran bayangan total maksudnya adalah perbesaran bayangan yang dilakukan oleh kedua cermin cekung A dan B sekaligus, yaitu


Jadi, bayangan yang dibentuk oleh cermin cekung A dan B 2 kali lebih besar dari bendanya.

Pembentukan bayangan oleh cermin cekung

Seperti telah dikatakan berulang-ulang, pembentukan bayangan oleh cermin cekung mematuhi hukum-hukum pemantulan cahaya. Untuk dapat melukis bayangan yang dibentuk oleh cermin cekung biasanya digunakan tiga sinar istimewa. Sinar istimewa adalah sinar datang yang lintasannya mudah diramalkan tanpa harus mengukur sudut datang dan sudut pantulnya. Tiga sinar istimewa itu adalah,

1.


Sinar yang melalui pusat kelengkungan cermin akan dipantulkan melalui pusat kelengkungan itu lagi.


Gambar 19

Sinar yang melewati titik pusat kelengkungan akan dipantulkan cermin cekung melewati titik tersebut.

2.


Sinar yang sejajar sumbu utama akan dipantulkan melalui fokus utama.


Gambar 20

Sinar yang sejajar sumbu utama akan dipantulkan melalui fokus utama

3.


Sinar yang melalui fokus utama akan dipantulkan sejajar sumbu utama.


Gambar 21

Sinar yang melalui fokus utama dipantulkan sejajar sumbu utama.

Untuk dapat melukis bayangan suatu benda di depan cermin lengkung Anda cukup menggunakan dua dari tiga sinar istimewa di atas. Misalnya Anda hendak menentukan bayangan sebuah benda yang berada di depan cermin cekung. Posisi benda itu ada di antara pusat kelengkungan dan titik fokus cermin atau R > s > f seperti pada gambar 21. Bayangan benda dapat ditentukan dengan cara melukis dua sinar istimewa yang melewati titik B (kepala panah), yakni sinar yang sejajar sumbu utama (1) dan sinar yang melalui fokus utama cermin (2). Kedua sinar istimewa ini dipantulkan oleh cermin dan kedua sinar pantul ini akan berpotongan di satu titik (B'). Titik B' ini merupakan bayangan kepala anak panah tadi. Kemudian tariklah garis A'B' sejajar dengan garis AB, maka garis A'B' inilah yang merupakan bayangan dari benda AB. Bagaimana, mudah saja bukan?


Gambar 22

Bayangan suatu benda yang diletakkan di antara pusat kelengkungan dan titik fokus cermin cekung tampak terbalik diperbesar.

Bila Anda perhatikan bayangan A'B' dan benda AB lalu Anda bandingkan ukuran keduanya, tampak ukuran bayangan lebih besar dari bendanya dan juga bayangan terlihat terbalik. Selain itu, bila Anda perhatikan lebih jauh tampak bahwa bayangan benda AB dilewati oleh sinar-sinar pantul. Bayangan semacam ini ini disebut bayangan sejati . Bayangan sejati tidak dapat dilihat langsung oleh mata kita, tetapi dapat ditangkap oleh layar. Dengan kata lain kita hanya dapat melihat bayangan sejati melalui layar seperti saat kita menonton film di bioskop. Itu sebabnya bayangan sejati disebut juga bayangan nyata . Kebalikan dari bayangan nyata adalah bayangan maya . Bayangan maya tidak dapat ditangkap layar, namun dapat langsung dilihat oleh mata seperti bayangan pada cermin datar. Dilihat dari cara melukisnya, bayangan maya dibentuk oleh perpanjangan sinar-sinar pantul seperti Anda lihat pada uraian selanjutnya.

Jadi, bayangan dari benda di depan cermin cekung pada posisi seperti Gambar 22 di atas akan memiliki sifat-sifat nyata , terbalik , dan diperbesar . Pertanyaan yang muncul kemudian adalah, apakah ukuran bayangan selalu lebih besar dari ukuran bendanya? Apakah bayangan yang dibentuk oleh cermin cekung selalu terbalik dan nyata?

Sifat-sifat bayangan dari suatu benda di depan cermin cekung bergantung posisinya dari cermin. Tentang posisi benda di depan cermin cekung ini, masih tersisa kemungkinan-kemungkinan lain selain yang sudah diperlihatkan oleh Gambar 22. Mari kita cermati mereka satu-persatu.

1.


Posisi benda di sebelah kiri pusat kelengkungan cermin atau s > 2f.


Gambar 23

Bila jarak benda s > 2f sifat bayangan yang terbentuk adalah nyata, terbalik diperkecil.






2.



Untuk melukis bayangan benda, tetap digunakan dua sinar istimewa seperti pada gambar terdahulu dan bayangan yang terbentuk pun merupakan hasil perpotongan dari pantulan sinar-sinar istemewa itu. Bayangan benda yang terbentuk tampak diperkecil, terbalik dan nyata.

Posisi benda di jauh tak terhingga atau s = ~ .
Sinar-sinar yang berasal dari benda yang jauh tak terhingga datang ke cermin berupa sinar-sinar sejajar dan oleh cermin sinar-sinar ini akan dikumpulkan di fokus utama sehingga bayangan benda yang terbentuk hanya berupa titik di fokus utama


Gambar 24

Bayangan dari benda yang jauh tak terhingga dari cermin berupa titik di fokus utama.

3.


Posisi benda tepat di pusat kelengkungan cermin atau s = R.


Gambar 25

Bayangan dari suatu benda yang berada tepat di pusat kelengkungan cermin cekung tepat berada di pusat kelengkungan cermin cekung itu. Sifat-sifat bayangan adalah sama besar, terbalik dan nyata.




4.


Dengan cara yang sama kita dapatkan sifat bayangan dari benda yang sama besar, terbalik dan nyata.

Posisi benda tepat di titik F atau s = f.


Gambar 26

Bayangan suatu benda yang diletakkan di fokus utama cermin cekung ada di jauh tak terhingga.

5.


Sinar-sinar yang datang dari benda yang diletakkan tepat di fokus utama dipantulkan oleh cermin cekung sejajar sumbu utama sehingga tidak terbentuk bayangan sering juga dikatakan bahwa bayangan benda ada di jauh tak terhingga.

Posisi benda di antara titik F dan O atau s <>


Gambar 27

Bayangan benda yang diletakkan di antara O dan F atau s <>

Bila benda diletakkan pada jarak yang lebih kecil dari jarak fokus cermin cekung, bayangan yang terbentuk merupakan perpotongan dari perpanjangan sinar-sinar pantul sehingga bayangannya bersifat maya. Dari gambar terlihat bahwa bayangan tampak tegak, diperbesar dan berada di belakang cermin sementara kemungkinan-kemungkinan terdahulu bayangan benda selalu di depan cermin cekung. Jadi dapat juga disimpulkan bahwa bila bayangan dari suatu benda nyata di depan cermin cekung terbentuk di depan cermin tersebut, maka bayangan benda itu merupakan bayangan nyata, sebaliknya bila bayangan terletak di belakang cermin bayangannya adalah bayangan maya. Dapat ditambahkan juga bahwa bayangan maya dari suatu benda nyata selalu tegak dan diperbesar.

Mencari Hubungan Antara Jarak Benda Jarak Fokus dan Jarak Bayangan


Hubungan antara jarak benda (s), jarak fokus (f) dan jarak bayangan (s’) pada cermin cekung dapat ditentukan dengan bantuan geometrik. Pada Gambar 29 benda AB yang tingginya (h) berada di ruang 3 cermin cekung. Bayangan benda tentunya di ruang 2 (dalil Esbach).


Gambar 29
Mencari hubungan antara jarak benda, jarak fokus dan jarak bayangan.

Pada gambar tampak segitiga ABO dan A'B'O sebangun sehingga



Pada gambar di atas juga tampak bahwa segitiga GFO dan A'B'F sebangun sehingga


Sehingga


Bila dua persamaan terakhir di atas digabungkan, akan didapat




bila ruas kiri dan ruas kanan persamaan di atas sama-sama dibagi ss'f, akan didapat


atau




dengan

f = jarak fokus cermin (m)

s = jarak benda (m)

s' = jarak bayangan (m)

Seperti telah diuraikan di atas bahwa jarak fokus sama dengan separuh jarak pusat kelengkungan cermin f = ½ R, sehingga persamaan cermin cekung dapat juga dituliskan dalam bentuk




Bentuk lain persamaan cermin cekung

Persamaan yang disebut persamaan cermin cekung ini juga berlaku untuk cermin cembung dengan persyaratan khusus seperti akan di bahas nanti.

Bagaimana dengan perbesaran bayangan? Dapatkah ditentukan secara matematika?

Perbesaran bayangan didefinisikan sebagai perbandingan ukuran bayangan dengan ukuran bendanya. Dalam bentuk persamaan,




Persamaan Perbesaran bayangan cermin cekung

dengan

M = perbesaran bayangan

h = tinggi benda (m)

h' = tinggi bayangan (m)

s = jarak benda (m)

s' = jarak bayangan (m)

Contoh

1.


Sebuah benda terletak 5 cm di depan sebuah cermin cekung yang berjari-jari 20 cm. Tentukan (a) sifat-sifat bayangan (b) jarak bayangan (c) Perbesaran bayangan!

Penyelesaian:
Diketahui : s = 5 cm, R = 20 cm jadi f = 10 cm
Ditanya :
a. sifat-sifat bayangan
b. s'
c. M

Jawab :

a.


Dari data soal diketahui s <>

b.










bayangan pastilah maya, tegak diperbesar.
Gunakan persamaan:

atau

= 1/10 – 1/5 = 1/10 – 2/10 = - 10 cm
Jadi jarak bayangan = 10 cm. Tanda negatif bermakna bahwa benda di belakang cermin dan bersifat maya.

c.


Perbesaran bayangan

jadi ukuran bayangan 2 kali lebih besar dari ukuran bendanya. Bagaimana, Anda dapat memahaminya? Selanjutnya perhatikan contoh lain berikut ini.

Contoh

2.


Sebuah benda yang tingginya 4 cm diletakkan 15 cm di depan cermin cekung dengan jari-jari kelengkungan 20 cm. Tentukan (a) jarak bayangan (b) tinggi bayangan (c) sifat-sifat bayangan yang terbentuk!

Penyelesaian:
Diketahui:
h = 4 cm
s = 15 cm
R = 20 cm ® f = 10 cm
Ditanya:
a. s'
b. h'
c. sifat-sifat bayangan

Jawab:

a.














Jarak bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan :

s' = 30 cm
Jadi jarak bayangan 30 cm di depan cermin.


b.



Tinggi bayangan ditentukan dengan menggunakan persamaan:

Jadi, tinggi bayangan 8 cm yang berarti lebih besar dari tinggi bendanya.


c.



Sifat bayangan adalah nyata, terbalik diperbesar
Sebenarnya Anda dapat menggunakan Dalil Esbach untuk menentukan sifat-sifat bayangan. Dari data soal diketahui bahwa benda diletakkan di antara fokus utama dan pusat kelengkungan cermin. Jadi di ruang 2 sehingga bayangannya ada di ruang 3 dan bayangan akan bersifat nyata, terbalik, dan diperbesar

Pembentukan Bayangan Pada Lensa

Seperti pada cermin lengkung, pada lensa dikenal pula tiga berkas sinar istimewa. Pada lensa positif tiga sinar istimewa tersebut adalah:


Gambar 24. Tiga berkas sinar istimewa pada lensa positif.

1.
2.
3.


Sinar datang sejajar sumbu utama akan dibiaskan melalui fokus utama.
Sinar datang melalui fokus utama dibiaskan sejajar sumbu utama.
Sinar datang melalui pusat optik akan diteruskan tanpa dibiaskan.


Pada lensa negatif tiga sinar istimewa itu adalah:


Gambar 25. Tiga berkas sinar istimewa pada lensa negatif.

1.

2.
3.


Sinar datang sejajar sumbu utama akan dibiaskan seolah-olah sinar bias itu berasal dari fokus utama F1.
Sinar datang menuju fokus utama F2 akan dibiaskan sejajar sumbu utama.
Sinar datang melalui pusat optik akan diteruskan tanpa dibiaskan .

Berkas sinar-sinar istimewa di atas dibutuhkan saat kita hendak menentukan bayangan suatu benda yang dibentuk oleh lensa dengan cara melukis seperti dijelaskan berikut ini.

Melukis pembentukan bayangan pada lensa


Gambar 26. Pembentukan bayangan pada lensa positif untuk benda yang
diletakkan antara F2 dan 2 F2.

Benda AB pada gambar 26 di atas diletakkan di depan lensa positif pada jarak s dari pusat optik O. Untuk melukis bayangan benda AB sebenarnya cukup digunakan 2 dari 3 sinar istimewa saja. Namun pada gambar 26 di atas, tampak ketiga sinar istimewa itu ditampilkan. Bayangan benda AB, yakni A'B' terbentuk pada jarak s' dari pusat optik. Tampak bahwa titik B’ yang merupakan bayangan dari titik B terbentuk dari perpotongan tiga sinar istemewa. Cobalah Anda telusuri perjalanan tiga sinar istimewa tersebut pada gambar 26 agar Anda lebih memahaminya.

Kita tak perlu melukis tiga sinar istimewa untuk menentukan bayangan titik A, sebab benda AB merupakan garis lurus yang tegak lurus pada sumbu utama. Jadi titik A' langsung kita tentukan begitu kita temukan titik B'. Caranya dengan menarik garis tegak lurus melalui sumbu utama dari titik B' itu. Nah, titik perpotongan dua garis inilah yang merupakan titik A’ sebagaimana tampak pada gambar 26 di atas.

Bagaimana, mau mencoba melukis bayangan untuk benda AB dengan posisi yang berbeda dari gambar 26? Cobalah Anda perhatikan gambar 27 di bawah! Apa persamaan dan perbedaan antara gambar 27 ini dengan gambar 26?


Gambar 27. Pembentukan bayangan oleh lensa positif untuk benda yang diletakkan pada jarak lebih besar dari jarak antara pusat optik ke titik 2F2.

Bila Anda perhatikan dua gambar itu akan tampak persamaan dan perbedaan kedua gambar tersebut. Kesamaannya adalah bahwa bayangan kedua benda terbentuk sebagai hasil pembiasan pada lensa yang dilukis menggunakan tiga sinar istimewa. Kesamaan yang lain adalah bahwa bayangan yang terbentuk posisinya terbalik dari posisi bendanya. Selanjutnya pada kedua gambar tampak benda di sebelah kiri atau di depan lensa, sedangkan bayangannya ada di sebelah kanan atau di belakang lensa.

Sementara perbedaan antara kedua gambar dijelaskan sebagai berikut.
Pada gambar 26 benda diletakkan pada jarak antara titik F2 dan 2F2, sedangkan pada gambar 27 benda diletakkan pada jarak yang lebih besar dari jarak antara pusat optik ke titik 2F2. Bayangan yang terbentuk pada gambar 26 berukuran lebih besar dari bendanya, sedangkan bayangan yang terbentuk pada gambar 27 ukurannya lebih kecil bila dibandingkan ukuran bendanya.

Bagaimana kalau posisi benda AB berada antara pusat optik dan titik F2?


Gambar 28. Pembentukan bayangan pada lensa positif bila benda diletakkan
antara pusat optik O dan fokus utama F2.

Pada gambar 28 tampak bayangan A'B' yang terbentuk ada di depan lensa, tidak di belakang lensa seperti gambar terdahulu dan bayangan tampak tegak (tidak terbalik) serta lebih besar dari ukuran bendanya. Cara melukis bayangannya secara prinsip sebenarnya sama, yakni menggunakan tiga sinar istimewa. Hanya saja untuk mendapatkan bayangan benda A'B' garis-garis yang merupakan sinar-sinar bias dari tiga sinar istimewa tersebut harus diperpanjang ke belakang (garis putus-putus). Nah, perpotongan tiga garis putus-putus itulah yang merupakan titik bayangan B'. selanjutnya sama seperti gambar-gambar terdahulu bayangan A'B' dilukis dengan menarik garis A'B'.

Latihan
Cobalah Anda lukis bayangan benda AB bila posisinya:
a. tepat di fokus utama F2 dan
b. tepat di titik 2F2 lensa positif.

Saat benda di fokus utama, Anda tidak dapat melukis bayangan. Anda hanya mendapatkan berkas sinar istimewa setelah dibiaskan oleh lensa positif yang merupakan dua sinar yang sejajar. Dikatakan bahwa bayangan berada di jauh tak terhingga. Pada saat posisi benda tepat di titik 2F2 bayangan ada di belakang lensa tepat di titik 2F1 dan ukurannya akan sama dengan ukuran bendanya.

Untuk lensa negatif, sifat-sifat bayangan dari suatu benda sejati di depan lensa selalu tegak, diperkecil dan maya seperti diperlihatkan gambar 29. Menggeser posisi benda AB digeser mendekati atau menjauhi pusat optik hanya merubah ukuran bayangan, namun tidak akan merubah sifat-sifat bayangan (silakan Anda mencobanya).


Gambar 29. Sifat bayangan dari suatu benda sejati di depan lensa negatif selalu maya,
tegak diperkecil.

Berkaitan dengan pembentukan bayangan pada lensa, tabel 1 di bawah memuat berbagai kemungkinan posisi benda dan posisi bayangan serta sifat bayangan tersebut. Anda dapat memeriksa kebenaran tabel tersebut dengan mencoba melukis sendiri bayangan benda pada posisi-posisi benda sesuai dengan data pada tabel tersebut.

Tabel 1. Jarak benda jarak bayangan dan sifat bayangan pada lensa.

Jenis lensa


Jarak benda (s)


Sifat bayangan

Positif
Positif
Positif
Positif
Positif
Positif
Negatif


Antara pusat optik dan fokus utama (F)
Tepat di fokus utama
Antara F dan 2F
Tepat di 2F
Antara 2F dan jauh tak terhingga
Di jauh tak terhingga
Antara pusat optik dan jauh tak terhingga


Maya, tegak, diperbesar
Bayangan di jauh tak terhingga
Nyata, terbalik, diperbesar
Nyata, terbalik, sama besar
Nyata, terbalik, diperkecil
Nyata, terbalik, diperkecil
Maya, tegak, diperkecil

C. Beberapa Istilah Pada Lensa

Sebelum diuraikan bagaimana pembiasan cahaya pada lensa, terlebih dahulu diperkenalkan beberapa istilah berkaitan dengan lensa. Perhatikan gambar 22 di bawah.


Gambar 22. Istilah-istilah pada lensa.

1.
2.

3.

4.

5.


6.


Aperture: diameter lensa
Pusat optik: Titik pada lensa di mana berkas sinar yang melalu titik ini akan diteruskan tanpa dibiaskan.
Sumbu lensa: sumbu yang melalui pusat optik dan membelah lensa menjadi dua bagian
Sumbu utama: garis lurus yang melalui pusat optik dan tegak lurus dengan sumbu lensa
Fokus utama (F): Titik di mana berkas sinar sejajar akan dikumpulkan (lihat kembali Gambar 20.a) atau titik di mana seolah-olah berkas sinar mulai disebarkan (lihat kembali Gambar 20.b).
Jarak fokus: jarak antara pusat optik dan fokus utama lensa.






Gambar 23. Bidang fokus utama (a) pada lensa positif (b) pada lensa negatif.

7.


Bidang fokus utama: bidang yang melewati fokus utama. Pada lensa positif berkas sinar sejajar yang menuju pusat lensa akan berkumpul di satu titik pada bidang fokus utama (gambar 23.a), sedangkan pada lensa negatif, berkas sinar sejajar akan dibiaskan seolah-olah mereka berasal dari satu titik pada bidang fokus utama (gambar 23.b).

I. Kuat Lensa

Kuat lensa berkaitan dengan sifat konvergen (mengumpulkan berkas sinar) dan divergen (menyebarkan sinar) suatu lensa. Untuk Lensa positif, semakin kecil jarak fokus, semakin kuat kemampuan lensa itu untuk mengumpulkan berkas sinar. Untuk Lensa negatif, semakin kecil jarak fokus semakin kuat kemampuan lensa itu untuk menyebarkan berkas sinar. Oleh karenanya kuat lensa didefinisikan sebagai kebalikan dari jarak fokus,

Persamaan kuat lensa
dengan
P = kuat lensa dalam satuan dioptri
f = jarak fokus lensa dalam satuan meter

Contoh 1:
Sebuah lensa bikonveks (cembung-cembung) mempunyai jari-jari kelengkungan 9 cm dan 18 cm. Sebuah benda diletakkan pada jarak 24 cm di depan lensa dan bayangan yang terbentuk merupakan bayangan nyata 24 cm di belakang lensa itu. Tentukan fokus, kuat lensa dan indeks bias lensa itu!

Penyelesaian:

Diketahui :


R1 = +9 cm
R2 = 18 cm
s = 24 cm
s' = 24 cm
n1 = 1

Ditanya :


a. f = ?
b. P = ?
c. n2 = ?


Jawab:

a.


jarak fokus lensa dapat dihitung dengan menggunakan persamaan pembuat lensa




= http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_90/images/fisx10_201.gif+ http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_90/images/fisx10_201.gif

= http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_90/images/fisx10_202.gif

f = 12 cm.

Jadi jarak fokus lensa adalah 12 cm.

b.


Kuat lensa

f = 12 cm = 0,12 m




=

= 8,33 dioptri

Jadi kuat lensa sama dengan 8,33 dioptri.

c.


Indeks bias lensa ditentukan dengan menggunakan persamaan fokus lensa





x 6 = (n2 - 1)

n2 = 0,5 + 1 = 1,5

Jadi indeks bias lensa di udara sama dengan 1,5.

H. Perbesaran Bayangan
Persamaan untuk menentukan perbesaran bayangan untuk lensa sama dengan persamaan untuk cermin lengkung, yakni:

Persamaan perbesaran lensa tipis
dengan
s = jarak benda
s' = jarak bayangan
h = tinggi benda
h' = tinggi bayangan

Contoh 1:
Sebuah lensa tipis bikonveks mempunyai jarak fokus 8 cm. Sebuah benda yang tingginya 2 cm diletakkan di depan lensa itu. Tentukan posisi dan tinggi bayangan yang terbentuk jika benda diletakkan pada jarak a. 12 cm dan dan b. 20 cm!

Penyelesaian:

Diketahui :


f = 8 cm
h = 2 cm

Ditanyakan :


a. h' = ?
b. s' = ?


Jawab:

a.










s' = 24

Tinggi bayangan dapat ditentukan dari persamaan perbesaran,





h' = -4 (Tanda minus berarti bayangan terbalik)

Jadi, tinggi bayangan 4 cm atau dua kali tinggi bendanya. Artinya terjadi perbesaran sebesar 2 kali. Bila Anda perhatikan, tanda pada s' dan h' negatif sehingga dari keseluruhan data yang didapatkan ini dapat disimpulkan bahwa bayangan bersifat nyata, diperbesar, terbalik dan berada di belakang lensa. Coba bandingkan kesimpulan ini dengan kesimpulan yang akan Anda peroleh bila menggunakan Dalil Esbach!

b.


Posisi dan tinggi bayangan untuk s = 20 cm
Bila kita gunakan Dalil Esbach dapat kita simpulkan bahwa sifat bayangan yang terbentuk adalah nyata, terbalik dan diperkecil di ruang 2. Mengapa? Sebab jarak fokus lensa f = 8 cm, jarak titik 2F dari pusat optik yang merupakan batas ruang II hanya 16 cm, sedangkan jarak benda = 20 cm yang berarti ada di ruang III. Mari kita buktikan dengan menggunakan persamaan pembuat lensa!









s' = 13,33 cm

Tinggi bayangan dapat ditentukan dari persamaan perbesaran,







Jadi posisi bayangan 13,33 cm dengan tinggi hanya 1,33 cm yang berarti bersifat nyata, diperkecil dan terbalik di belakang lensa. Sifat-sifat ini sama seperti sifat-sifat bayangan yang kita peroleh dari Dalil Esbach di atas.

Latihan
Untuk soal Contoh 2 di atas, cobalah Anda buktikan bahwa bila benda diletakkan 4 cm dari pusat optik, maka posisi dan tinggi bayangan yang terbentuk adalah 8 cm dan 4 cm!

Contoh 2:
Sebuah lensa bikonveks (cembung-cembung) mempunyai jari-jari kelengkungan R1 = 20 cm dan R2 = 30 cm terbuat dari kaca dengan indeks bias = 1,5. Tentukan jarak fokus lensa tersebut!

Penyelesaian:
Gunakan perjanjian tanda untuk jari-jari kelengkungan R1 dan R2 sebagaimana dijelaskan di atas. Karena jenis lensa cembung-cembung, maka kedua jari-jari kelengkungan tersebut bernilai positif.


Diketahui :


R1 = +20 cm
R2 = +30 cm
n1 = 1
n2 = 1,5

Ditanyakan :


f =?

Jawab :










= 0,5 x http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_90/images/fisx10_160.gif




f = 24 cm

Jadi, fokus lensa positif sebesar 24 cm.

Contoh 3:
Sama dengan soal contoh 2, namun untuk lensa bikonkaf (cekung-cekung).

Penyelesaian:
Untuk lensa cekung-cekung berarti R1 dan R2 bernilai negatif,


Diketahui :


R1 = -30 cm
R2 = -20 cm
n1 = 1
n2 = 1,5

Ditanyakan :


f =?

Jawab :










= 0,5 x -http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_90/images/fisx10_160.gif




f = -24 cm

Jadi, fokus lensa negatif sebesar -24 cm.

Contoh 4:
Sama dengan soal contoh 2, namun untuk lensa konveks-konkaf (cekung-cembung)

Penyelesaian:
Untuk lensa cekung-cembung berarti R1 bernilai positif (permukaan lensa cembung) dan R2 bernilai negatif (permukaan lensa cekung),


Diketahui :


R1 = +30 cm
R2 = -20 cm
n1 = 1
n2 = 1,5

Ditanyakan :


f =?

Jawab :










= 0,5 x http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_90/images/fisx10_165.gif




f = -120 cm

Jadi, fokus lensa negatif sebesar -120 cm.

Latihan
Untuk soal Contoh 2 di atas coba Anda buktikan bahwa jika jenis lensanya cembung-cekung jarak fokusnya positif sebesar 120 cm!

Bagaimana, dapat? Ya, jangan berhenti mencoba dan berusaha agarAnda dapat mengerjakan soal latihan di atas. Baru setelah itu Anda istirahat sebentar atau langsung mempelajari soal contoh berikut ini.

Contoh 5:
Bayangan nyata yang dibentuk oleh lensa cembung-datar mempunyai ukuran 2 kali bendanya. Jika salah satu jari-jari kelengkungan lensa yang indeks biasnya 1,52 itu adalah 52 cm, tentukan jarak benda di depan lensa!

Penyelesaian:
Perbesaran benda M = 2, maka dari persamaan besaran kita dapatkan s' = 2s. Kemudian bersama data soal yang lain data ini kita masukan ke persamaan fokus lensa tipis.


Diketahui :


M = 2
R1 = ~
R2 = -52 cm
n1 = 1
n2 = 1,52
s' = 2s

Ditanyakan :


s =?

Jawab :










s = = 150 cm

Jadi, jarak benda 150 cm di depan lensa (sebab jarak s bertanda positif).

Contoh 6:
Sebuah lensa dengan indeks bias 1,5 mempunyai jarak fokus 20 cm di udara. Hitung jarak fokusnya jika lensa tersebut dicelupkan dalam air n = http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_90/images/fisx10_p43.gif!

Penyelesaian:
Sekilas soal ini tampak sulit karena data soalnya sangat sedikit (tidak ada jari-jari kelengkungan dan jenis lensanya), namun justru karena itu soal ini sangat mudah. Anda hanya perlu menggunakan cara perbandingan, yakni perbandingan persamaan fokus lensa untuk medium udara dan medium air.

Diketahui :


n1 = nudara = 1
n1' = nair = http://www.e-dukasi.net/mol/datafitur/modul_online/MO_90/images/fisx10_p43.gif
n2 = 1,52
f = 20 cm.

Ditanyakan :


f' =?

Jawab :







Jari-jari kelengkungan lensa tidak mengalami perubahan saat lensa di udara atau di saat di air sehingga dapat dihilangkan dari persamaan, kita peroleh








f' = 4 x 20 = 80 cm

Jadi, fokus lensa lensa di dalam air adalah 80 cm. Ini lebih besar dibandingkan saat lensa berada di udara.

Nah, demikianlah beberapa contoh penerapan persamaan lensa, mudah-mudahan Anda dapat memahaminya dengan baik.

G. Jarak Fokus Lensa-lensa
Fokus lensa (F) didefinisikan sebagai letak bayangan jika bendanya berada di titik tak hingga. Jarak fokus lensa (f) adalah jarak dari pusat optik ke titik fokus (F). Jadi bila s = ~, maka f = s’. Bila kita masukkan data ini pada persamaan lensa tipis di atas, maka kita peroleh,





karena = 0, maka

Persamaan fokus lensa tipis
dengan
f = jarak fokus lensa
n1 = indeks bias medium sekeliling lensa
n2 = indeks bias lensa
R1 = jari-jari kelengkungan permukaan pertama lensa
R2 = jari-jari kelengkungan permukaan kedua lensa

Dalam menggunakan dua persamaan lensa tipis di atas, gunakan perjanjian tanda berikut ini.

s =

s =

s' =

s' =

f =
f =
R =
R =
R =


Benda bertanda positif (+) jika benda terletak di depan lensa (benda nyata).
Benda bertanda negatif (–) jika benda terletak di belakang lensa (benda maya).
Bayangan bertanda positif (+) jika bayangan terletak di belakang lensa (bayangan nyata).
Bayangan bertanda negatif (–) jika benda terletak di depan lensa (bayangan maya).
Jarak fokus bertanda positif (+) untuk lensa positif (lensa cembung).
Jarak fokus bertanda negatif (–) untuk lensa negatif (lensa cekung).
Jari-jari bertanda positif (+) untuk permukaan lensa yang cembung.
Jari-jari bertanda negatif (–) untuk permukaan lensa yang cekung.
Jari-jari tak terhingga untuk permukaan lensa yang datar.

0 Comments

Post a Comment

Copyright © 2009 Rafi GK All rights reserved. Theme by Laptop Geek. | Bloggerized by FalconHive.